用高观点教数学

四中老教师 周长生
 

 

  中国有一句古老的教育格言:“师傅领进门,修行在个人。”

  经过长期的教育实践,到了晚年,才逐渐意识到,这句话似是中学数学教育的一条基本规律。如果认同这个规律,那么教书好与坏的标志,就看能不能把学生领进门了。具体而言,怎样才能把学生领进门呢?应以高观点武装学生的头脑,提高他们的认识,使其居高临下,自主修行。

  由于高低具有相对性,这里所说的高观点是高于数学教科书的理论、思想、方法。为什么要用高观点呢?因为:任何事情只有用较高观点去审视才能看清它的本质。


  对于中学数学而言,高观点都有哪些?
  我不可能说出全部的高观点来,根据几十年的经验,我大致谈五个层面:

  第一、共性个性原理;
  第二、简易逻辑知识;
  第三、学习数学的主要原则;
  第四、数学的主要特点;
  第五、一些学习数学方法口诀。

  以下将简略叙述。
  第一个层面,共性个性原理(或关于世界事物属性的一些基本原理)共有三条:
  第一条、事物之间有差异也有共性,特别是任意一组事物必有共同属性;
  第二条、共性寓于个性;
  第三条、共性个性具有相对性。

  以上三条只是我个人学习《矛盾论》的一点心得。如有偏,当属我的水平太差。

  从第一条可以得出归纳法,从第二条可以得出演绎法。这个原理用之四海而皆准。它是方法之母,它是人类认识世界的最高层次的方法。何以说它的层次最高呢?因为好像我们还不能找出比它层次再高的方法。

  第二层面,简易逻辑知识。
提高学生的逻辑思维能力是中学数学教学的重要目标之一。采取怎样的措施才能解决这个问题呢?我们知道,知识就是力量,从而知识也就是能力。要想提高学生逻辑思维能力,必须让学生掌握必要的逻辑知识。事实上,逻辑知识和数学知识之间的关系是一般和特殊的关系。与数学知识相比较,逻辑知识自然就成为高层次的观点。

  简易逻辑知识宜包括:概念(定义和分类)、命题(非命题、或命题、且命题、条件命题以及条件命题之间的关系)、推理(归纳推理和演绎推理)和证明四个部分。应完全放在初中数学讲授。

  第三个层面。学习数学的主要原则。
我说的原则主要有:(一)理论的必要性原则,简称必要性原则。(二)理论的范围性原则,简称范围性原则。(三)理论的和谐性原则,简称和谐性原则。(四)理论的层次式原则,简称层次式原则。(五)二知然原则(知其然知其所以然)。(六)以简驭繁原则(循序渐进)。(一)必要性原则
这个原则要解决的问题是:为什么要学这个?为什么要学那个?
打开一本数学教科书,有目录,每一节有标题。目录和标题,主要说的是学什么的问题,可是并没有说出为什么要学的问题。学什么固然很重要,但为什么学更为重要。不但知其然,而且还知其所以然。一个学生,不管听课还是看书,一定要有这样的思想准备:务必弄清数学理论提出的必要性。教材和老师有责任给学生说出个道道来。

  泛而言之,理论的必要性原则,就是古往今来人们常说的学以致用的原则。当然,这里指的“用”是广义的。理论联系实际的原则也包括在必要性原则之内。

  我这里所说的数学理论,不仅指课文,还包括例题,习题和考题。我必须坦诚地说出一个严重的事实,自我教书至今快60年了,在作题这一点,我没有完全自觉性。留给学生的每一道题,考试学生的每一道题,我不能都说出其必要性。

  中学数学,有没有类似中国戏曲那样的基本功训练。要求学生掌握基础知识的深度,基本技能的意义和范围等等。我也没有全然解决。教书,我有相当的盲目性。(二)范围性原则

  1、概念的范围
  对每一个概念,都有它确定的范围。对概念的识别,是头等重要的事情。所谓识别某一个概念,就是,既能认定范围之内的东西,说“是”;也能认定范围之外的东西,说“非”。范围之内者,是;范围之外者,非。所谓分清是非,对概念来说,指的就是这个意思。欲弄清概念的范围,必须掌握其定义。

  2、定理的范围
  定理是由“条件”和“结论”两个部分组成的条件命题“若P则Q”,其中P是条件,Q是结论。定理是真的条件命题,所谓真的条件命题就是由条件P可以推导出结论Q的条件命题。人们应用定理,主要是应用其结论,而结论成立又依赖于其条件,因此,在应用定理的结论处理问题时,务必要弄清其条件是否具备。如果其条件不具备或者不完整就不能盲目地套用结论。

  3、字母的范围
   数学中的基本知识主要指概念和定理,前面既然谈到了概念的范围和定理的范围,也就基本上说了基本知识的范围,可为什么又提出字母的范围呢?因为,在数学中字母代表数极为普遍,单独提出来研究字母的范围性是不会有什么坏处的。但是,字母的范围既不是与概念并列,也不是与定理并列,它也可能属于概念,它也可能属于定理。关于字母的范围,应关注以下三个问题。

  第一、字母代表数。
  第二、字母代表什么数。
  第三、为什么代表这些数。

  (三)和谐性原则

  这个原则说的是,在一本数学教科书里,前后知识不能自相矛盾。和谐性原则,可以帮助我们推测出未来的新知识。例如由负数的相反数是正数可以推知两负数相乘的法则。

  (四)层次性原则

  教科书上的知识,都是基本知识。但是,这一点并不是说,基本知识都属于同一个层次。知识层次的高低与共性个性原理有关。具有一般与特殊关系的两个知识,一般是高层次,特殊是低层次。从一般特殊关系来看,教科书上的基本知识几乎处处都有层次性区分的。

  弄清层次以后,对掌握性质很有好处,因为,一般东西的性质特殊都有,就没有必要再一一去记高层次东西的性质了。比如,平行四边形的性质:对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分,这些个性质,矩形、菱形、正方形都具有之,毫无疑惑之处。但是,应当指出,不具有高低层次性的两个知识,千万不可乱加套用。比如,二次函数和一次函数就不是一般和特殊的关系,二次函数的图象是抛物线,而一次函数的图像是一条直线。(五)二知然原则

  这个原则指的主要是,学生学习数学要有质疑精神,要多问“为什么”。前面提到的必要性原则“为什么讲这个”、为什么学那个“也属于二知然范围,但后者涉及的范围更广。针对学生各自的情况必然还会产生各种不同的带有质疑性质的问题。经常不断地提出质疑,解决质疑,对于学好数学具有重大深远的意义。

  学一个概念,不仅要弄清定义是什么,还要进一步弄清为什么这样定义。讲一个定理,做一道题,都要分析,但是,怎样分析以及为什么这样分析,也必须弄个一清二楚。

  六、以简驭繁原则
中国古时,有个很重要的教育教学原则叫做循序渐进。但是,这里所说的“序”和“渐”有哪些特征并没有明确说明。教科书的编者、教师和学生都要依据这个原则编书、教书、学习。但是,却都不能具体说出这个原则具体内涵。这不能不说是一个很大的问题。根据我的经验,在中学数学的教学中,我用“以简驭繁”的原则来界定“循序渐进”的原则的内容大致是:

  分清简繁,
  从简到繁,
  化繁为简,
  以简驭繁。

  化简方法何处寻?知识,换元和经验。台上一分钟,台下十年功,简单东西要熟练。简繁具有相对性,循着简繁渐往前。

  第四个层面:数学的主要特点
数学的特点是相对于数学以外的其它学科来说的。但对于数学学科自身而言,这些特点就成为一般性的东西了。所以,从教学的角度看,我们完全可以把数学的特点看成数学的高层次的观点和方法。

  在教学实践中,根据学生的实际接受情况,我对数学的特点作了必要的修改。
特点之一———概念的精确性。在实践中要注重粗略和精确的关系;
特点之二———概念的高度抽象性。在实践中要注重具体和抽象的关系;既要使学生把最抽象的东西理解得最具体,又要把最具体的东西理解得最抽象。
特点之三———粗略的公理体系。在实践中要注重教科书上数学知识安排的规则。
第五个层面:数学学习方法口诀

  我把中学数学大致分七个部分。运算、分解因式、方程(不等式)、方程的应用、函数、图形计算、解析几何。每一部分都编了一个顺口溜的学习口诀。例如,在运算方面,我提出了一个“运算总原则”(恒等、化简):

  运算必变换,过程是化简,
  目标是最简,以简驾驭繁。
  形变值不变,时时记心间,
  形变值也变,错误即出现。
  要想值不变,算理是关键,
  算理在课本,共有六方面。
  概念要弄清,性质要牢记,
  法则要掌握,顺序不能乱,
  加乘运算律,公式左右换。
  算理想用活,思想要换元,
  看成一字母,立刻繁化简。
  这样来做题,步步有根据,
  是对还是错,自己来判断,
  是对还是错,再把书来看。

  总观以上简述,可知,本文所说的高观点,对教科书而言,都是一般性的东西。根据一般正确特殊必然正确的原理,可以看出,用高观点审视教科书,一定会收到显著的成效,有助于教好学好。事实上,上述高层次的观点,可以渗透到中学的每一门数学、每一节数学、每一个概念、定理、法则以及例题和习题。可以这样说,用不用高观点教数学决非通常所说可此可彼的方法问题,而是一个有关认识论原则问题,也就是说,这是一个带有教育规律性的问题。

  

 
 
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